名詞のtrademarkは、特定の企業の商品のみに使用できる、名前やマーク、表現など、つまり、商標のことです。
動詞のtrademarkは、他の企業が使用できないように、名前やマーク、表現などを法的に登録する、つまり、商標登録する、という意味です。

The company owns several well-known trademarks that are used to market its line of ready-made foods.
その会社は、既製食品の製品ラインの販売のために使用される、いくつかの有名な商標を所有している。

I’d like to start the application process for trademarking this slogan soon. I’d hate for someone else to beat us to the punch (= do it before we do).
私はすぐにこのスローガンを商標登録するための、申請を開始したいと思う。私は（私たちがそれを行う前に）他の誰かに先手を打たれてしまうのはとても嫌だ。

Clothes displaying the trademarked logos of globally known sportswear brands usually sell very well.
世界的に知られているスポーツブランドの商標登録されたロゴを表示している服は、非常によく売れる。

ついでに覚えよう！

REGISTER   登録・登記する、登録・登記させる

registerは、正式な表や名簿などに名前やその他の情報を記入する、また、人に記入させる、という意味です。

I’m taking the afternoon off. My wife and I are going to the municipal (= city) office to register our marriage.
私は午後に休暇を取ります。妻と私は、私達の結婚を登録するために、地方自治体（=市）のオフィスに行きます。

Don’t forget that April 15th is the deadline to register to vote for the parliamentary elections.
4月15日が、議会の選挙に投票をするための登録締め切りであることを忘れてはならない。

You’ll need to register with the ward office where you live by the end of next week.
あなたは来週末までに、あなたが住んでいる区役所に登録する必要がある。

It’s a company car, so it’s not registered in my name.
それは社用車である。従って、それは私の名前では登録されていない。